Question

【題目】已知函數，.

（I）求證：在區間上單調遞增；

（II）若，函數在區間上的最大值為，求的試題分析式.并判斷是否有最大值和最小值，請說明理由（參考數據：）

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）有最小值，沒有最大值.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求出的導數，設，求出的導數，運用單調性即可得證；（Ⅱ）求出的導數，求得單調區間，極值和當時，時的最大值，結合零點存在定理，以及函數的單調性即可判斷有最小值，沒有最大值.

試題解析：（I）證明：∵，

∴，

設，則，

∴當時，，∴在區間上單調遞增.

∵，

∴當時，.

∴在區間上單調遞增.

（II）∵，

∴的定義域是，且，即.

∵，∴，

當變化時，、變化情況如下表：

∴當時，，在區間上的最大值是.

當時，在區間上的最大值為.

即.

（1）當時，.

由（I）知，在上單調遞增.

又，，

∴存在唯一，使得，且當時，，單調遞減，當時，，單調遞增.

∴當時，有最小值.

（2）當時，，

∴在單調遞增.

又，

∴當時，.

∴在上單調遞增.

綜合（1）（2）及試題分析式可知，有最小值，沒有最大值.