Question

【題目】某游樂場過山車軌道在同一豎直鋼架平面內，如圖所示，矩形的長為130米，寬為120米，圓弧形軌道所在圓的圓心為0，圓O與，，分別相切于點A，D，CT為的中點.現欲設計過山車軌道，軌道由五段連接而成：出發點N在線段上（不含端點，游客從點Q處乘升降電梯至點N），軌道第一段與圓O相切于點M，再沿著圓孤軌道到達最高點A，然后在點A處沿垂直軌道急速下降至點O處，接著沿直線軌道滑行至地面點G處（設計要求M，O，G三點共線），最后通過制動裝置減速沿水平軌道滑行到達終點R記為，軌道總長度為l米.

（1）試將l表示為的函數，并寫出的取值范圍；

（2）求l最小時的值.

Answer 1

【答案】（1），，（2）

【解析】

（1）作，垂足為點，作，垂足為點，可得，，進而得出以及的取值范圍；

（2）對進行求導，求出函數的單調性，即可求得最小時的值.

（1）作，垂足為點，作，垂足為點，如圖所示：

∴，

∴，

（2）

令，可得；令，可得.

令，，則當時，為單調遞減；當時，為單調遞增.

∴當時，函數取得最小值，即最小.