Question

【題目】已知函數（a為常數）的最大值為0.

（1）求實數a的值；

（2）設函數，當時，求證：函數有兩個不同的零點，（），且.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

(1)求出導數，分與兩種情況討論函數的單調性與最大值，列出方程求解即可；(2)求出函數的一階導數與二階導數，由二階導數的符號判斷一階導數的單調性，再由一階導數的符號判斷的單調性，因為，，可得函數有兩個不同的零點，，即可得解.

解：（1）函數的定義域為：，

當時，，則函數在上單調遞增，無最大值；

當時，令，即，解得，

所以函數在上單調遞增，上單調遞減，

，易知函數與函數的圖像相交于點，所以方程的解為；

（2）

當時，則在上單調遞增，

又因為，所以在上單調遞減，在上單調遞增，

又，，

所以函數有兩個不同的零點，，

故.