Question

【題目】已知動點M到點N（1，0）和直線l：x=﹣1的距離相等． （Ⅰ）求動點M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）已知不與l垂直的直線l'與曲線E有唯一公共點A，且與直線l的交點為P，以AP為直徑作圓C．判斷點N和圓C的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設動點M（x，y），

由拋物線定義可知點M的軌跡E是以N（1，0）為焦點，直線l：x=﹣1為準線的拋物線，

所以軌跡E的方程為y2=4x．

（Ⅱ）點N在以PA為直徑的圓C上．

理由：由題意可設直線l'：x=my+n，

由 可得y2﹣4my﹣4n=0（*），

因為直線l'與曲線E有唯一公共點A，

所以△=16m2+16n=0，即n=﹣m2．

所以（*）可化簡為y2﹣4my+4m2=0，

所以A（m2，2m），

令x=﹣1得 ，

因為n=﹣m2，

所以

所以NA⊥NP，

所以點N在以PA為直徑的圓C上

【解析】（Ⅰ）利用拋物線的定義，即可求動點M的軌跡E的方程；（Ⅱ）由題意可設直線l'：x=my+n，由 可得y2﹣4my﹣4n=0，求出A，P的坐標，利用向量的數量積，即可得出結論．