Question

【題目】已知函數 ．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求證： ；
（3）判斷曲線y=f（x）是否位于x軸下方，并說明理由．

Answer 1

【答案】解：函數的定義域為（0，+∞），

（1） ，又 ，

曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為 ．

即

（2）“要證明 ”等價于“ ”．

設函數g（x）=xlnx．

令g'（x）=1+lnx=0，解得 ．

x
g'（x）	﹣	0	+
g（x）	↘		↗

因此，函數g（x）的最小值為 ．故 ．

即 ．

（3）曲線y=f（x）位于x軸下方．理由如下：

由（2）可知 ，所以 ．

設 ，則 ．

令k'（x）＞0得0＜x＜1；令k'（x）＜0得x＞1．

所以k（x）在（0，1）上為增函數，（1，+∞）上為減函數．

所以當x＞0時，k（x）≤k（1）=0恒成立，當且僅當x=1時，k（1）=0．

又因為 ，所以f（x）＜0恒成立．

故曲線y=f（x）位于x軸下方.

【解析】（1） f ' ( 1 )可表示函數在自變量為1處點的切線斜率；（2）將本小題的問題變為求函數g（x）=xlnx的最值問題；（3）判斷曲線y=f（x）是否位于x軸下方即判斷函數值是否恒小于0.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．