Question

【題目】如圖，在棱長為2的正方體中，點分別是棱上的動點，且.

（1）求證：；

（2）當三棱錐的體積取得最大值時，求二面角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

設AE＝BF＝x．以D為原點建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標

（1）通過計算，證明A1F⊥C1E．

（2）判斷當S△BEF取得最大值時，三棱錐B1﹣BEF的體積取得最大值．求出平面B1EF的法向量，底面ABCD的法向量，設二面角B1﹣EF﹣B的平面角為θ，利用空間向量的數量積求出，然后求解二面角B1﹣EF﹣B的正切值．

設AE＝BF＝x．以D為原點建立空間直角坐標系，得下列坐標：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），E（2，x，0），F（2﹣x，2，0）．

（1）因為，，

所以．

所以A1F⊥C1E．

（2）因為，

所以當S△BEF取得最大值時，三棱錐B1﹣BEF的體積取得最大值．

因為，

所以當x＝1時，即E，F分別是棱AB，BC的中點時，三棱錐B1﹣BEF的體積取得最大值，此時E，F坐標分別為E（2，1，0），F（1，2，0）．

設平面B1EF的法向量為，

則得

取a＝2，b＝2，c＝﹣1，得．顯然底面ABCD的法向量為．

設二面角B1﹣EF﹣B的平面角為θ，由題意知θ為銳角．

因為，所以，于是．

所以，即二面角B1﹣EF﹣B的正切值為．