Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…為自然對數的底數．
（1）設g（x）是函數f（x）的導函數，求函數g（x）在區間[0，1]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函數f（x）在區間（0，1）內有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，

又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，

∴①當 時，則2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，

∴函數g（x）在區間[0，1]上單調遞增，g（x）min=g（0）=1﹣b；

②當 ，則1＜2a＜e，

∴當0＜x＜ln（2a）時，g′（x）=ex﹣2a＜0，當ln（2a）＜x＜1時，g′（x）=ex﹣2a＞0，

∴函數g（x）在區間[0，ln（2a）]上單調遞減，在區間[ln（2a），1]上單調遞增，

g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；

③當 時，則2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，

∴函數g（x）在區間[0，1]上單調遞減，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，

綜上：函數g（x）在區間[0，1]上的最小值為

（2）解：由f（1）=0，e﹣a﹣b﹣1=0b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，

若函數f（x）在區間（0，1）內有零點，則函數f（x）在區間（0，1）內至少有三個單調區間，

由（1）知當a≤ 或a≥ 時，函數g（x）在區間[0，1]上單調，不可能滿足“函數f（x）在區間（0，1）內至少有三個單調區間”這一要求．

若 ，則gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1

令h（x）= （1＜x＜e）

則 = ，∴ ．由 ＞0x＜

∴h（x）在區間（1， ）上單調遞增，在區間（ ，e）上單調遞減，

= = ＜0，即gmin（x）＜0 恒成立，

∴函數f（x）在區間（0，1）內至少有三個單調區間 ，

又 ，所以e﹣2＜a＜1，

綜上得：e﹣2＜a＜1．

【解析】（1）求出f（x）的導數得g（x），再求出g（x）的導數，對它進行討論，從而判斷g（x）的單調性，求出g（x）的最小值；（2）利用等價轉換，若函數f（x）在區間（0，1）內有零點，則函數f（x）在區間（0，1）內至少有三個單調區間，所以g（x）在（0，1）上應有兩個不同的零點．