Question

【題目】定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的一個上界.已知函數， .

（1）若函數為奇函數，求實數的值；

（2）在（1）的條件下，求函數在區間上的所有上界構成的集合；

（3）若函數在上是以3為上界的有界函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）上界構成集合為；（3）實數的取值范圍為.

【解析】試題分析：（1），即，得；（2）函數在區間上單調遞增，所以值域為，所以所有上界構成集合為；（3）在上恒成立，分離參數得在上恒成立，所以的取值范圍為.

試題解析：

（1）因為函數為奇函數，

所以，即，

即，得，而當時不合題意，故.

（2）由（1）得： ，

易知，函數在區間上單調遞增，

所以函數在區間上單調遞增，

所以函數在區間上的值域為，

所以，故函數在區間上的所有上界構成集合為.

（3）由題意知， 在上恒成立.

， .

∴在上恒成立.

∴

設， ， ，由得，

設， ，

，

所以在上遞減， 在上遞增，

在上的最大值為， 在上的最小值為.

所以實數的取值范圍為.