Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知過點的直線與橢圓交于不同的兩點，，其中.

（1）若，求的面積；

（2）在x軸上是否存在定點T，使得直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形.

Answer 1

【答案】(1) (2) x軸上存在定點，使得直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形

【解析】

（1）當時得直線l：，與橢圓聯立得B，再求面積

（2）設直線l： ，與橢圓聯立，由直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形，得 ，利用斜率代入韋達定理化簡得定點坐標

（1）當時，代入橢圓方程可得點坐標為或

若點坐標為，此時直線l：

聯立，消x整理可得

解得或，故B

所以的面積為

，由對稱性知的面積也是，

綜上可知，當時，的面積為.

（2）顯然直線l的斜率不為0，設直線l：

聯立，消去x整理得

由，得

則， ,

因為直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形，

所以

設，則,

即,

解得.

故x軸上存在定點，使得直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形．