Question

【題目】已知函數，且.

（1）求a；

（2）設函數的導函數為，在函數的圖像上取定兩點，記直線AB的斜率為k，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）先求導數，分析當時與題設矛盾；當時，研究其單調性并求出最小值，由題可知，，構造函數，求導求單調性可得最大值，由此得到；

（2）由（1）知時，，令，則，變形為，即，又，，，從而得證.

（1），

當時，，則單調遞增，又，則對一切，這與題設矛盾；

當時，令得.

當時，單調遞減，當時，，單調遞增，

故當時，取最小值.

于是對一切恒成立，當且僅當.①

令，則.

當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，

故當時，取最大值，因此，當且僅當時，①式成立.

綜上所述，；

（2）由（1）知，

當單調遞增，

當單調遞減，

又由于，所以時，，

令，則，變形為，

所以，

又，

則，

所以.