Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為正方形，平面ACD，且，E為PD的中點．

（Ⅰ）證明：平面平面PAD；

（Ⅱ）求直線PA與平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（1）根據線面垂直證明面面垂直；（2）建立空間直角坐標系，分別求出向量和平面的法向量，再由向量數量積公式，即得.

（Ⅰ）證明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴

∵四邊形ABCD為正方形，∴，又，∴平面PAD，

∵平面PCD，∴平面平面PAD

（Ⅱ）如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

則，，，，∴，，，

設平面AEC的法向量為，則，，即，

令，得平面AEC的一個法向量為，∴

∴直線PA與平面AEC所成角的正弦值為．