Question

【題目】已知橢圓的焦距為2，且過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）設為的左焦點，點為直線上任意一點，過點作的垂線交于兩點，

（ⅰ）證明：平分線段（其中為坐標原點）；

（ⅱ）當取最小值時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ）見解析（ⅱ）點的坐標為．

【解析】

（1）由題意得，再由的關系求出，即可得橢圓的標準方程；

（2）（i）設，的中點為，，設直線的方程為，代入橢圓方程中，運用根與系數的關系和中點坐標公式，結合三點共線的方法：斜率相等，即可得證；

（ii）利用兩點間的距離公式及弦長公式將表示出來，由換元法的對勾函數的單調性，可得取最小值時的條件獲得等量關系，從而確定點的坐標.

解：（1）由題意得， ，所以，

所以橢圓方程為

（2）設， 的中點為，

（ⅰ）證明：由，可設直線的方程為，

代入橢圓方程，得，

所以，

所以，則直線的斜率為，

因為，所以，

所以三點共線，所以平分線段；

（ii）由兩點間的距離公式得

由弦長公式得

所以，

令，則，由在上遞增，可得，即時，取得最小值4，

所以當取最小值時，點的坐標為