Question

【題目】已知二次函數滿足，．

求函數的解析式；

若關于x的不等式在上恒成立，求實數t的取值范圍；

若函數在區間內至少有一個零點，求實數m的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）f（x）=2x2-6x+2； （2）t＞10； （3）m＜-10或m≥-2.

【解析】

（1）用待定系數法設二次函數表達式，再代入已知函數方程化簡即可得答案； （2）分離參數后求f(x)的最大值即可；（3）先求無零點時m的范圍，再求補集．

（1）設二次函數f（x）=ax2+bx+2，（a≠0）

∴a（x+1）2+b（x+1）+2-ax2-bx-2=4x-4

∴2ax+a+b=4x-4，

∴a=2，b=-6

∴f（x）=2x2-6x+2；

（2）依題意t＞f（x）=2x2-6x+2在x∈[-1，2]上恒成立，

而2x2-6x+2的對稱軸為x=∈[-1，2]，

所以x=-1時，取最大值10，

t＞10；

（3）∵g（x）=f（x）-mx=2x2-6x+2-mx=2x2-（6+m）x+2在區間（-1，2）內至少有一個零點，當g（x）在（-1，2）內無零點時，△=（6+m）2-16＜0或或，解得：-10≤m＜-2，

因此g（x）在（-1，2）內至少有一個零點時，m＜-10或m≥-2．