Question

【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ABB1A1為矩形，AB=2，AA1=2 ，D是AA1的中點，BD與AB1交于點O，且CO⊥平面ABB1A1 ．

（1）證明：CD⊥AB1；
（2）若OC=OA，求直線CD與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵D是矩形AA1的中點，∴AD= AA1= ．

∴ = ，∴△DAB∽△ABB1，∴∠ABD=∠AB1B，

∵∠BAB1+∠AB1B=90°，∴∠BAB1+∠ABD=90°，∴BD⊥AB1．

∵CO⊥平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1，

∴CO⊥AB1，又CO平面BCD，BD平面BCD，CO∩BD=O，

∴AB1⊥平面BCD，∵CD平面BCD，

∴CD⊥AB1．

（2）解：以O為原點，以OD，OB1，OC為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示：

則A（0，﹣ ，0），B（﹣ ，0，0），C（0，0， ），D（ ，0，0）．

∴ =（ ，0，﹣ ）， =（﹣ ， ，0）， =（0， ， ）．

設平面ABC的法向量為 =（x，y，z），則 ，

即 ，令x=1得 =（1， ，﹣ ）．

∴ = ，∴cos＜ ＞= = ．

∴直線CD與平面ABC所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）根據△DAB∽△ABB得出BD⊥AB1 ． 根據CO⊥平面ABB1A1得出CO⊥AB1 ， 于是AB1⊥平面BCD，從而得出CD⊥AB1；（2）根據三角形相似計算OA，OB，OC，OD，以O為原點建立空間直角坐標系，求出 及平面ABC的法向量 ，計算|cos＜ ＞|即可．