Question

【題目】已知拋物線（），焦點到準線的距離為，過點作直線交拋物線于點(點在第一象限).

(Ⅰ)若點焦點重合，且弦長，求直線的方程；

(Ⅱ)若點關于軸的對稱點為，直線交x軸于點，且，求證：點B的坐標是，并求點到直線的距離的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 或.(Ⅱ)

【解析】

試題分析：（Ⅰ）確定拋物線的方程，設出直線方程與拋物線方程聯立，利用弦長|PQ|=2，即可求直線l的方程；（Ⅱ）設出直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理，結合向量知識，證明B（-，0），確定出，或m的范圍，表示出點B到直線l的距離d，即可求得取值范圍

試題解析：(Ⅰ)解：由題意可知，，故拋物線方程為，焦點.

設直線l的方程為，，.

由消去x，得.所以△=n2+1＞0，.

因為，點A與焦點F重合，

所以.

所以n2=1，即n=±1.所以直線l的方程為或，

即或.

(Ⅱ)證明：設直線l的方程為(m≠0)，，則

由消去x，得，

因為，所以△=m2+4x0＞0，y1+y2=m，y1y2=-x0.

設B(xB，0)，則.

由題意知，，所以，

即.

顯然，所以，即證B(-x0，0).

由題意知，△MBQ為等腰直角三角形，所以，即，也即，

所以，所以，

即，所以＞0，即

又因為，所以.，

所以d的取值范圍是.