Question

【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，側面SCD為鈍角三角形且垂直于底面ABCD，CD＝SD，點M是SA的中點，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝ADBC＝a．

（1）求證：平面MBD⊥平面SCD；

（2）若∠SDC＝120°，求三棱錐C﹣MBD的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）a3．

【解析】

（1）取BC中點E，連接DE，則AB＝AD＝a，BC＝2a．由題意可得：四邊形ABED為正方形，可得BD2+CD2＝BC2，于是BD⊥CD，根據面面垂直的性質定理可得：BD⊥平面SCD，進而得出平面MBD⊥平面SCD．

（2）過點S作SH⊥CD，交CD的延長線于點H，連接AH．∠SDH為SD與底面ABCD所成的角，即∠SDH＝60°．點M到平面ABCD的距離d＝SH．可得三棱錐C﹣MBD的體積VBD×CDd．

（1）證明：取BC中點E，連接DE，則AB＝AD＝a，BC＝2a．由題意可得：四邊形ABED為正方形，且BE＝DE＝CE＝a，BD＝CDa．

∴BD2+CD2＝BC2，則BD⊥CD，又平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD＝CD，

∴BD⊥平面SCD，BD平面MBD，∴平面MBD⊥平面SCD．

（2）解：過點S作SH⊥CD，交CD的延長線于點H，連接AH．

則∠SDH為SD與底面ABCD所成的角，即∠SDH＝60°．

由（1）可得：SD＝CDa，∴在Rt△SHD中，SDa，HDa，SHa．

∴點M到平面ABCD的距離da．

∴三棱錐C﹣MBD的體積VBD×CDda3．