Question

【題目】已知函數

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）證明：．

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）利用導數幾何意義得：曲線在處的切線斜率等于該點處導數值，k=f′（1）＝e，而f（1）＝2，利用點斜式得切線方程為（2）先調整所證不等式：等價于，再利用導數分別研究左右函數最值：設函數g（x）＝xln x，g（x）在（0，＋∞）上的最小值為g＝－；設函數h（x）＝xe－x－，則h（x）在（0，＋∞）上的最大值為h（1）＝－．但兩個函數取最值時的自變量不同，因此等于號取不到，從而得證．

試題解析：解：（1）函數f（x）的定義域為（0，＋∞），

由題意可得f（1）＝2，f′（1）＝e，故曲線在處的切線方程為；

（2）證明：由（1）知，f（x）＝exln x＋ex－1，

從而等價于．

設函數g（x）＝xln x，

則g′（x）＝1＋ln x，

所以當x∈時，g′（x）<0；

當x∈時，g′（x）>0．

故g（x）在上單調遞減，在上單調遞增，從而g（x）在（0，＋∞）上的最小值為

g＝－．

設函數h（x）＝xe－x－，則h′（x）＝e－x（1－x）．

所以當x∈（0，1）時，h′（x）>0；

當x∈（1，＋∞）時，h′（x）<0．

故h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，＋∞）上單調遞減，從而h（x）在（0，＋∞）上的最大值為

h（1）＝－．

因為gmin（x）＝g＝h（1）＝hmax（x），

所以當x>0時，g（x）>h（x），即f（x）>1．