Question

已知圓C：（x+2）²+y²=4，相互垂直的兩條直線l₁、l₂都過(guò)點(diǎn)A（a，0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，若圓心為M（1，m）的圓和圓C外切且與直線l₁、l₂都相切，求圓M的方程；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，求l₁、l₂被圓C所截得弦長(zhǎng)之和的最大值，并求此時(shí)直線l₁的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出所求的圓的半徑r，利用和已知圓外切及圓心M（1，m）到點(diǎn)A（2，0）的距離為，求出半徑r和m的值，寫(xiě)出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)弦長(zhǎng)分別為d₁，d₂，因?yàn)樗倪呅蜛ECF是矩形，應(yīng)用勾股定理和基本不等式求d₁+d₂的最大值，由d₁，d₂的值結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出直線斜率，點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程并化為一般式．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)圓M的半徑為r，由于圓M的兩條切線互相垂直，故圓心M（1，m）到點(diǎn)A（2，0）的距離為，
∴，（4分）  解得r=2，且，
∴圓M的方程為．（7分）
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，設(shè)圓C的圓心為C，l₁、l₂ 被圓C所截得弦的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，弦長(zhǎng)分別為d₁，d₂，
因?yàn)樗倪呅蜛ECF是矩形，所以CE²+CF²=AC²=1，即，（10分）
從而，等號(hào)成立，∴時(shí)，
∴，即l₁、l₂被圓C所截得弦長(zhǎng)之和的最大值為． （13分）
此時(shí)，顯然直線l₁的斜率存在，設(shè)直線l₁的方程為：y=k（x+1），
則，∴k=±1，∴直線l₁的方程為：x-y+1=0或x+y+1=0．（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法、直線和園位置關(guān)系的綜合應(yīng)用．