Question

已知圓C：（x-2）²+（y-1）²=25，過點M（-2，4）的圓C的切線l₁與直線l₂：ax+3y+2a=0平行，則l₁與l₂間的距離是（　　）

• A、

  8

  5

• B、

  2

  5

• C、

  28

  5

• D、

  12

  5

Answer 1

分析：法一：利用平行線間的斜率之間的關系可設：切線l₁的方程為ax+3y+m=0，把點M的坐標代入得到ax+3y+2a-12=0．再利用圓的切線的性質：圓心到切線的距離d=r，即可得出a，再利用兩條平行線間的距離公式即可得出．
法二：經驗證點M（-2，4）在圓上，可得k_CM=-

3

4

，于是切線l₁的斜率k=

4

3

，
又切線l₁與直線l₂：ax+3y+2a=0平行，得到-

a

3

=

4

3

，解得a，以下同法一．

解答：解：法一：∵過點M（-2，4）的圓C的切線l₁與直線l₂：ax+3y+2a=0平行，
∴可設切線l₁的方程為ax+3y+m=0，把點M的坐標代入得到-2a+3×4+m=0，解得m=2a-12．
即切線方程為ax+3y+2a-12=0．
由圓C：（x-2）²+（y-1）²=25，得到圓心C（2，1），半徑r=5．
∴圓心C（2，1）到切線的距離d=

|2a+3+2a-12|

a2+9

=5，化為a²+8a+16=0，解得a=-4．
∴l₁的方程為：-4x+3y-20=0，即4x-3y+20=0．
又l₂的方程為：-4a+3y-8=0，即4x-3y+8=0．
∴l₁與l₂間的距離d=

|20-8|

42+(-3)2

=

12

5

．
法二：經驗證點M（-2，4）在圓上，由k_CM=

4-1

-2-2

=-

3

4

，
可得切線l₁的斜率k=

4

3

，
又切線l₁與直線l₂：ax+3y+2a=0平行，
∴-

a

3

=

4

3

，解得a=-4．
以下同解法一．
故選：D．

點評：本題考查了圓的切線的性質、兩條平行線之間的距離公式、點到直線的距離公式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．