Question

已知圓C：（x+2）²+y²=24，定點A（2，0），M為圓C上一動點，點P在AM上，點N在CM上（C為圓心），且滿足

.

AM

= 2

.

AP

，

.

NP

-

.

AM

=0，設點N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過點B（m，0）作傾斜角為

5

6

π的直線l交曲線E于C、D兩點．若點Q（1，0）恰在以線段CD為直徑的圓的內部，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，知NP為AM的中垂線，|

NA

| =|

NM

|，所以|

NA

| +|

NC

| =|

NM

| +|

NC

| =2

6

＞4=|

AC

|，由此能求出N的軌跡方程．
（2）設l的方程是y=

3

3

(x-m)，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由

y=- 3 3 (x-m) x2 6 + y2 2 =1

，得：2x²-2mx+m²-6=0，由△＞0，得-2

3

＜m＜2

3

，x1+x2=m，x1x2=

m2-6

2

，由點Q（1，0）在以線段CD為直徑的圓內，得

QC

•

QD

＜0，由此能求出m的取值范圍．

解答：解：（1）由

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，知NP為AM的中垂線，
∴|

NA

| =|

NM

|，∴|

NA

| +|

NC

| =|

NM

| +|

NC

| =2

6

＞4=|

AC

|，
∴N的軌跡是橢圓，c=2，a=

6

，即N的軌跡方程是

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）由題意，l的方程是y=

3

3

(x-m)，
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

y=- 3 3 (x-m) x2 6 + y2 2 =1

，消去y，整理得：2x²-2mx+m²-6=0，
由△＞0?4m²-4×2（m²-6）＞0?-2

3

＜m＜2

3

，
∴x1+x2=m，x1x2=

m2-6

2

，
又點Q（1，0）在以線段CD為直徑的圓內，得

QC

•

QD

＜0，
∴（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）＜0，
x1x2-(x1+x2)+1+(-

3

3

)2(x1-m)(x2-m)＜0，
∴

4

3

x1x2-(1+

1

3

m) (x1+x2)  +

1

3

m2+1＜0，
∴2m²-3m-9＜0，
即-

3

2

＜m＜3．
綜上所述，m的取值范圍(-

3

2

，3)．

點評：本題考查軌跡方程的求法和求實數m的取值范圍．解題時要認真審題，注意合理地挖掘題設中的隱含條件，靈活運用橢圓性質，合理地進行等價轉化．