Question

已知圓C：（x-2）²+（y-4）²=4，直線l₁過原點O（0，0）．
（1）若l₁與圓C相切，求l₁的方程；
（2）若l₁與圓C相交于不同兩點P、Q，線段PQ的中點為M，又l₁與l₂：x+2y+1=0的交點為N，求證：OM•ON為定值；
（3）求問題（2）中線段MN長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）l₁的斜率不存在時，檢驗符合題意．當斜率存在時，設出斜截式方程，由圓心到直線的距離等于半徑求出
斜率，可得直線方程．
（2）點斜式設出直線l₁的方程，把l₁與l₂的方程聯立方程組求得交點N的坐標；把直線l₁的方程和CM的方程聯立
方程組可得M的坐標，化簡OM•ON的結果．
（3）設OM=x，則x∈(4，2

5

]，利用MN=x-

2

x

在(4，2

5

]上單調遞增，可求MN范圍．

解答：解：（1）分情況討論可得，①若直線l₁的斜率不存在，即直線是x=0，符合題意．（2分）
②若直線l₁斜率存在，設直線l₁為y=kx，即kx-y=0．
由題意知，圓心（2，4）到已知直線l₁的距離等于半徑2，
即：

|2k-4|

k2+1

=2解之得k=

3

4

． 所求直線方程是 x=0，或3x-4y=0．（5分）
（2）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設直線方程為kx-y=0，
由

x+2y+1=0 kx-y=0

，得 N(-

1

2k+1

，-

k

2k+1

)，∴ON=

1 (2k+1)2 + k2 (2k+1)2

=

1+k2

|2k+1|

． 
又直線CM與l₁垂直，由

y=kx y-4=- 1 k (x-2)

，得  M(

4k+2

1+k2

，

4k2+2k

1+k2

)，
∴OM=

[2(2k+1)]2 (1+k2)2 + [2k(2k+1)]2 (1+k2)2

=

|2k+1|×2× 1+k2

1+k2

，
∴OM•ON=

1+k2

|

1

2k+1

|•

1+k2

|

4k+2

k2+1

|=2為定值．（11分）
（3）由OM•ON=2，設OM=x，則x∈(4，2

5

]，ON=

2

x

，
（當OM為圓的切線時，長度最短等于4；當M為圓心時，OM的長度最長等于2

5

），
再由MN=OM-ON=x-

2

x

在(4，2

5

]上單調遞增，所以，MN∈(

7

2

，

9 5

5

]．（16分）

點評：本題考查點到直線的距離公式的應用，求兩直線的交點的坐標的方法，以及利用函數的單調性求函數的最值，體現
了分類討論的數學思想，屬于難題．