Question

在△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，設平面向量

a

=（cosA，sinA），

b

=（

3

2

，

1

2

），函數f（A）=

a

•

b

+1，
（Ⅰ）求函數f（A）的值域和單調遞增區間；
（Ⅱ）當f（A）=

9

5

，且

π

6

＜A＜

2π

3

時，求sinA的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,平面向量數量積的運算,正弦函數的單調性

專題：三角函數的求值

分析：化簡可得f（A）=sin(A+

π

3

)+1，（Ⅰ）由0＜A＜π可得函數f（A）的值域，由

π

3

＜A+

π

3

≤

π

2

可得f（A）的單調遞增區間；（Ⅱ）由題意可得sin(A+

π

3

)=

4

5

，進而可得cos(A+

π

3

)=-

3

5

，而sinA=sin[(A+

π

3

)-

π

3

]，由兩角差的正弦公式可得．

解答： 解：由題意可得f（A）=（cosA，sinA）•(

3

2

，

1

2

)+1
=

3

2

cosA+

1

2

sinA+1=sin(A+

π

3

)+1，
（Ⅰ）∵0＜A＜π，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

，
∴sin(A+

π

3

)∈(-

3

2

，1]，∴sin(A+

π

3

)+1∈(1-

3

2

，2]
∴函數f（A）的值域是(1-

3

2

，2]；
當

π

3

＜A+

π

3

≤

π

2

，即0＜A≤

π

6

時，函數f（A）單調遞增，
∴f（A）的單調遞增區間為(0，

π

6

]；
（Ⅱ）由f(A)=sin(A+

π

3

)+1=

9

5

，得sin(A+

π

3

)=

4

5

，
∵

π

6

＜A＜

2π

3

，∴

π

2

＜A+

π

3

＜π，∴cos(A+

π

3

)=-

3

5

，
∴sinA=sin[(A+

π

3

)-

π

3

]=

1

2

sin(A+

π

3

)-

3

2

cos(A+

π

3

)=

3 3 +4

10

點評：本題考查兩角和與差的三角函數公式，涉及數量積和正弦函數的單調性，屬中檔題．