Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

（a+2）x²+2ax-a²（a∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若a=4，y=f（x）的圖象與直線y=m有三個交點，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出函數定義域為x∈R，f′（x）=x²-（a+2）x+2a=（x-a）（x-2），由此根據a的取值范圍進行分類討論，能求出f（x）的單調區間．
（Ⅱ）若a=4，由（Ⅰ）可得f（x）在（-∞，2]上單調遞增，在[4，+∞）上單調遞增，在[2，4]上單調遞減．由此能求出f（x）的極值，從而能求出y=f（x）的圖象與直線y=m有三個交點時m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+2)x2+2ax-a2的定義域為x∈R，
f′（x）=x²-（a+2）x+2a=（x-a）（x-2），（2分）
①當a=2時，f'（x）≥0恒成立，f（x）在R上是增函數．（4分）
 ②當a＜2時，f'（x）≥0在（-∞，a]和[2，+∞）上恒成立，
f′（x）≤0在[a，2]上恒成立．
∴a＜2時f（x）的增區間為（-∞，a]，[2，+∞），f（x）的減區間為[a，2]．（6分）
 ③當a＞2時，f′（x）≥0在（-∞，2]和[a，+∞）上恒成立，
f′（x）≤0在[2，a]上恒成立，
∴a＞2時，f（x）的增區間為（-∞，2]和[a，+∞），f（x）的減區間為[2，a]．（8分）
（Ⅱ）若a=4，由（Ⅰ）可得f（x）在（-∞，2]上單調遞增，
在[4，+∞）上單調遞增，在[2，4]上單調遞減．（10分）
∴f（x）_極小值=f（4）=-

32

3

，（11分）f（x）_極大值=f（2）=-

28

3

，（12分）
∴y=f（x）的圖象與直線y=m有三個交點時m的取值范圍是（-

32

3

，-

28

3

）．（14分）

點評：本題考查函數的單調區間的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數性質的靈活運用和分類討論思想的合理運用．