Question

【題目】已知A，B分別是直線y=x和y=﹣x上的兩個動點，線段AB的長為2 ，D是AB的中點．
（1）求動點D的軌跡C的方程；
（2）若過點（1，0）的直線l與曲線C交于不同兩點P、Q，
①當|PQ|=3時，求直線l的方程；
②試問在x軸上是否存在點E（m，0），使 恒為定值？若存在，求出E點的坐標及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設D（x，y），A（a，a），B（b，﹣b），

∵D是AB的中點，∴x= ，y= ，

∵|AB|=2 ，∴（a﹣b）2+（a+b）2=12，

∴（2y）2+（2x）2=12，∴點D的軌跡C的方程為x2+y2=3

（2）解：①當直線l與x軸垂直時，P（1， ），Q（1，﹣ ），此時|PQ|=2 ，不符合題意；

當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x﹣1），由于|PQ|=3，所以圓心C到直線l的距離為 ，

由 = ，解得k=± ．故直線l的方程為y=± （x﹣1）．

②當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，則l的方程為y=k（x﹣1），

由消去y得（k2+1）x2﹣2k2x+k2﹣3=0，

設P（x1，y1），Q（x2，y2）則由韋達定理得x1+x2= ，x1x2= ，

則 =（m﹣x1，﹣y1）， =（m﹣x2，﹣y2），

∴ =（m﹣x1）（m﹣x2）+y1y2=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+y1y2

=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+k2（x1﹣1）（x2﹣1）

=m2﹣ + +k2 （ ﹣ +1）=

要使上式為定值須 =1，解得m=1，∴ 為定值﹣2，

當直線l的斜率不存在時P（1， ），Q（1，﹣ ），

由E（1，0）可得 =（0，﹣ ）， =（0， ），

∴ =﹣2，

綜上所述當E（1，0）時， 為定值﹣2

【解析】（1）設D（x，y），A（a，a），B（b，﹣b），然后根據線段AB的長為2 ，D是AB的中點消去a與b，得到x與y的等量關系，即為動點D的軌跡C的方程；（2）①討論直線l與x軸是否垂直，然后利用點到直線的距離公式建立等式關系，從而求出直線方程；②討論直線l的斜率是否存在，不存在時直接求 ，存在時，將直線與圓聯立方程組，消去y，然后設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），將 表示出來，使其與k無關即可求出m的值．