Question

【題目】已知函數，其中為常數且.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）討論函數的單調性；

（3）當時，，若存在，使成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）,當時,在上單調遞減,在上單調遞增;

當時,在上單調遞增，在上單調遞減；（3）.

【解析】試題分析：（1）第（1）問，先求導，再利用導數的幾何意義，求出切線的斜率，最后寫出直線的點斜式方程，化簡即可. (2)第(2)問，對m分類討論，求出函數的單調性.(3)第(3)問，由題得，再求出代入化簡即得m的取值范圍.

試題解析：

(1)當時，，

=

切線的斜率，又，

故切線的方程為，

即.

（2）且,

()當時,,

當時,;當時,.

故在區間上單調遞減,在區間上單調遞增；

()當，有兩個實數根，

且,故時,；

時，

時,.

故在區間上均為單調增函數,

在區間上為減函數.

綜上所述,當時,在上單調遞減,在上單調遞增;

當時,在、上單調遞增，在上單調遞減.

（3）當時，由（2）知，

又

，

在上為增函數.

.

依題意有

故的取值范圍為.