Question

【題目】田忌賽馬是《史記》中記載的一個故事,說的是齊國大將軍田忌經常與齊國眾公子賽馬,孫臏發現田忌的馬和其他人的馬相差并不遠,都分為上、中、下三等.于是孫臏給田忌將軍獻策:比賽即將開始時,他讓田忌用下等馬對戰公子們的上等馬,用上等馬對戰公子們的中等馬,用中等馬對戰公子們的下等馬,從而使田忌贏得了許多賭注.假設田忌的各等級馬與某公子的各等級馬進行一場比賽，田忌獲勝的概率如下表所示:

比賽規則規定:一次比賽由三場賽馬組成,每場由公子和田忌各出一匹馬參賽,結果只有勝和負兩種,并且毎一方三場賽馬的馬的等級各不相同,三場比賽中至少獲勝兩場的一方為最終勝利者.

（1）如果按孫臏的策略比賽一次，求田忌獲勝的概率；

（2）如果比賽約定,只能同等級馬對戰,每次比賽賭注1000金,即勝利者贏得對方1000金,每月比賽一次,求田忌一年賽馬獲利的數學期望.

Answer 1

【答案】（1）0.72；（2）金.

【解析】

（1）田忌用下等馬對戰公子們的上等馬獲勝的概率為，用上等馬對戰公子們的中等馬獲勝的概率為，用中等馬對戰公子們的下等馬獲勝的概率為.由題意求解即可.

（2）根據比賽約定，只能同等級馬對戰，在某月的比賽中田忌獲勝，則三場比賽中，田忌輸贏的分布為：勝勝勝，負勝勝，勝負勝，勝勝負，求出該月的比賽中田忌獲勝的概率以及該月賽馬獲利得期望，再求解一年的獲利期望，即可.

（1）記事件：按孫臏的策略比賽一次，田忌獲勝，

對于事件，三場比賽中，由于有一場比賽田忌必輸，另兩場都勝，

故.

（2）設田忌在每次比賽中所得的獎金為隨機變量（金），則的取值為和,

若在某月的比賽中田忌獲勝，則三場比賽中，田忌輸贏的分布為：勝勝勝，負勝勝，勝負勝，勝勝負.

設在該月的比賽中田忌獲勝的概率為，則

,

,

因此田忌一年賽馬獲利的數學期望為（金）.