Question

如圖，直線l₁和l₂相交于點M，l₁⊥l₂，點N∈l₁．以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l₂的距離與到點N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立適當的坐標系，求曲線段C的方程．(14分)

 

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：如圖建立坐標系，以l₁為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點O為坐標原點．由題意可知：曲線C是以點N為焦點，以l₂為準線的拋物線的一段，其中A、B分別為C的端點．

設曲線段C的方程為，其中分別為A、B的橫坐標，．所以，． 由，得

          ①

           ②

聯立①②解得．將其代入①式并由p>0解得，或．

因為△AMN為銳角三角形，所以，故舍去．  ∴p=4，．

由點B在曲線段C上，得．綜上得曲線段C的方程為．

考點：本題主要考查拋物線的標準方程、幾何性質及直線與拋物線的位置關系，

點評：這是一道綜合性較強的題目，在重點考查拋物線標準方程、幾何性質同時，考查了直線與直線的位置關系，對考生分析問題解決問題的能力及運算能力都有較好的考查功能。