Question

如圖，直線l₁和l₂相交于點M且l₁⊥l₂，點N∈l₁．以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l₂的距離與到點N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，|AM|=

17

，|AN|=3，且|BN|=6．
（1）曲線段C是哪類圓錐曲線的一部分？并建立適當的坐標系，求曲線段C所在的圓錐曲線的標準方程；
（2）在（1）所建的坐標系下，已知點P（m，n）在曲線段C上，直線l：mx+ny=1，求直線l被圓x²+y²=1截得的弦長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設知曲線段C是拋物線的一部分．分別以l₁、l₂為x、y軸，M為坐標原點．作AE⊥l₁，AD⊥l₂，BF⊥l₂，垂足分別為E、D、F．設A（x_A，y_A）、B（x_B，y_B）、N（x_N，0），依題意有x_A=|ME|=|DA|=|AN|=3，由此能求出曲線段C的方程．
（2）由點P（m，n）在曲線段C上，知n²=8m（1≤m≤4，n＞0），圓x²+y²=1的圓心到直線l：mx+ny=1的距離為d=

1

m2+n2

，則直線l被圓x²+y²=1截得的弦長t=2

1-d2

=2

1- 1 m2+n2

=2

1- 1 m2+8m

，（1≤m≤4），由此能求出直線l被圓x²+y²=1截得的弦長的取值范圍．

解答：解：（1）∵直線l₁和l₂相交于點M且l₁⊥l₂，點N∈l₁．
以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l₂的距離與到點N的距離相等．
△AMN為銳角三角形，|AM|=

17

，|AN|=3，且|BN|=6．
∴曲線段C是拋物線的一部分．
如圖建立坐標系，分別以l₁、l₂為x、y軸，M為坐標原點．
作AE⊥l₁，AD⊥l₂，BF⊥l₂，垂足分別為E、D、F．
設A（x_A，y_A）、B（x_B，y_B）、N（x_N，0）
依題意有x_A=|ME|=|DA|=|AN|=3，
y_A=|DM|=

|AM|2-|DA|2

=2

2

由于△AMN為銳角三角形，
故有x_N=|ME|+|EN|=|ME|+

|AN|2-|AE|2

=4，
x_B=|BF|=|BN|=6．
設點P（x，y）是曲線段C上任一點，
則由題意知P屬于集合
{（x，y）|（x-x_N）²+y²=x²，x_A≤x≤x_B，y＞0}
故曲線段C的方程為y²=8（x-2）（3≤x≤6，y＞0）．
（2）∵點P（m，n）在曲線段C上，
∴n²=8m（1≤m≤4，n＞0），
圓x²+y²=1的圓心到直線l：mx+ny=1的距離為d=

1

m2+n2

，
則直線l被圓x²+y²=1截得的弦長
t=2

1-d2

=2

1- 1 m2+n2

=2

1- 1 m2+8m

，（1≤m≤4），
∵1≤m≤4，
∴9≤m²+8m≤48，
∴

8

9

≤1-

1

m2+8m

≤

47

48

，
∴

4 2

3

≤t≤

141

6

，
∴直線l被圓x²+y²=1截得的弦長的取值范圍為[

4 2

3

，

141

6

]．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．