Question

如圖，直線l₁和l₂相交于點M，l₁⊥l₂，點N∈l₁．以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l₂的距離與到點N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程．(14分)

 

Answer 1

【答案】

【解析】主要考查拋物線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、待定系數(shù)法。

如圖建立坐標(biāo)系，以l₁為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點O為坐標(biāo)原點．由題意可知：曲線C是以點N為焦點，以l₂為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A、B分別為C的端點．

設(shè)曲線段C的方程為，

其中分別為A、B的橫坐標(biāo)，．

所以，． 由，得          ①

           ②

聯(lián)立①②解得．將其代入①式并由p>0解得，或．

因為△AMN為銳角三角形，所以，故舍去．  ∴p=4，．

由點B在曲線段C上，得．綜上得曲線段C的方程為．