Question

如圖，直線l₁和l₂相交于點M，l₁⊥l₂，點N∈l₁．以A，B為端點的曲線段C上的任一點到l₂的距離與到點N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，|AM|=

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，|AN|=3，且|BN|=6．建立適當的坐標系，求曲線段C的方程．

Answer 1

分析：方法一：由拋物線的定義知該曲線段是一段拋物線，建立適當的坐標系，依據題意求參數值．用定義法寫出拋物線的方程．
方法二：建立相應的坐標系，設出曲線段C上的任意一點的坐標（x，y），依據題意曲線段C上的任一點到l₂的距離與到點N的距離相等得出方程整理即得拋物線的方程．

解答：解：法一：如圖建立坐標系，
以l₁為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點O為坐標原點．
依題意知：曲線段C是以點N為焦點，以l₂為準線的拋物線的一段，其中A，B分別為C的端點．
設曲線段C的方程為
y²=2px（p＞0），（x_A≤x≤x_B，y＞0），
其中x_A，x_B分別為A，B的橫坐標，p=|MN|．
所以M（-

p

2

，0），N（

p

2

，0）．
由|AM|=

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，|AN|=3得
（x_A+

p

2

）²+2px_A=17，①
（x_A-

p

2

）²+2px_A=9．②
由①，②兩式聯立解得x_A=

4

p

．再將其代入①式并由p＞0解得

p=4 xA=1

或

p=2 xA=2.

因為△AMN是銳角三角形，所以

p

2

＞x_A，故舍去

p=2 xA=2

所以p=4，x_A=1．
由點B在曲線段C上，得x_B=|BN|-

p

2

=4．
綜上得曲線段C的方程為
y²=8x（1≤x≤4，y＞0）．

解法二：如圖建立坐標系，
分別以l₁、l₂為x、y軸，M為坐標原點．
作AE⊥l₁，AD⊥l₂，BF⊥l₂，垂足分別為E、D、F．
設A（x_A，y_A）、B（x_B，y_B）、N（x_N，0）．
依題意有
x_A=|ME|=|DA|=|AN|=3，
y_A=|DM|=

|AM|2-|DA|2

=2

2

，
由于△AMN為銳角三角形，故有
x_N=|ME|+|EN|
=|ME|+

|AN|2-|AE|2

=4
x_B=|BF|=|BN|=6．
設點P（x，y）是曲線段C上任一點，則由題意知P屬于集合
{（x，y）|（x-x_N）²+y²=x²，x_A≤x≤x_B，y＞0}．
故曲線段C的方程為y²=8（x-2）（3≤x≤6，y＞0）．

點評：考查利用坐標法求軌跡方程，以及拋物線的定義，本題主要是訓練利用符號語言進行運算的能力．