Question

【題目】在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且b，c是關于x的一元二次方程x2+mx﹣a2+b2+c2=0的兩根．
（1）求角A的大小；
（2）已知a= ，設B=θ，△ABC的面積為y，求y=f（θ）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，由題意可得：bc=﹣a2+b2+c2，可得：b2+c2=a2+bc，

∴cosA= = ，

又∵A∈（0，π），

∴A=

（2）解：由a= ，A= 及正弦定理可得： ，

∴b=2sinB=2sinθ，c=2sinC=2sin（ ﹣B）=2sin（ ﹣θ），

∴y= bcsinA= sinθsin（ ﹣θ）= sinθ（ cosθ+ sinθ）= sin2θ﹣ cos2θ+ = sin（2θ﹣ ）+ ，

由于0＜θ＜ ，可得：﹣ ＜2θ﹣ ＜ ，

∴當2θ﹣ = ，即θ= 時，ymax=

【解析】（1）由已知化簡可得：b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可求cosA= ，結合范圍A∈（0，π），可求A的值．（2）由已知及正弦定理可得b=2sinθ，c=2sin（ ﹣θ），利用，三角形面積公式，三角函數恒等變換的應用化簡可求y= sin（2θ﹣ ）+ ，由0＜θ＜ ，可得范圍﹣ ＜2θ﹣ ＜ ，利用正弦函數的圖象可求最大值．
【考點精析】關于本題考查的正弦定理的定義和余弦定理的定義，需要了解正弦定理:；余弦定理:;;才能得出正確答案．