Question

【題目】已知數集A={a1 ， a2 ， …，an}（1=a1＜a2＜…＜an ， n≥2）具有性質P：對任意的k（2≤k≤n），i，j（1≤i≤j≤n），使得ak=ai+aj成立．
（Ⅰ）分別判斷數集{1，3，4}與{1，2，3，6}是否具有性質P，并說明理由；
（Ⅱ）求證：an≤2a1+a2+…+an﹣1（n≥2）；
（Ⅲ）若an=72，求數集A中所有元素的和的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為 3≠1+1，所以{1，3，4}不具有性質P． 因為 2=1×2，3=1+2，6=3+3，所以{1，2，3，6}具有性質P
（Ⅱ）因為集合A={a1 ， a2 ， …，an}具有性質P：
即對任意的k（2≤k≤n），i，j（1≤i≤j≤n），使得ak=ai+aj成立，
又因為1=a1＜a2＜…＜an ， n≥2，所以ai＜ak ， aj＜ak
所以ai≤ak﹣1 ， aj≤ak﹣1 ， 所以ak=ai+aj≤2ak﹣1
即an﹣1≤2an﹣2 ， an﹣2≤2an﹣3 ， …，a3≤2a2 ， a2≤2a1
將上述不等式相加得a2+…+an﹣1+an≤2（a1+a2+…+an﹣1）
所以an≤2a1+a2+…+an﹣1
（Ⅲ）最小值為147．
首先注意到a1=1，根據性質P，得到a2=2a1=2
所以易知數集A的元素都是整數．
構造A={1，2，3，6，9，18，36，72}或者A={1，2，4，5，9，18，36，72}，這兩個集合具有性質P，此時元素和為147．
下面，我們證明147是最小的和
假設數集A={a1 ， a2 ， …，an}（a1＜a2＜…＜an ， n≥2），滿足 最小（存在性顯然，因為滿足 的數集A只有有限個）．
第一步：首先說明集合A={a1 ， a2 ， …，an}（a1＜a2＜…＜an ， n≥2）中至少有8個元素：
由（Ⅱ）可知a2≤2a1 ， a3≤2a2…
又a1=1，所以a2≤2，a3≤4，a4≤8，a5≤16，a6≤32，a7≤64＜72，
所以n≥8
第二步：證明an﹣1=36，an﹣2=18，an﹣3=9：
若36∈A，設at=36，因為an=72=36+36，為了使得 最小，在集合A
中一定不含有元素ak ， 使得36＜ak＜72，從而an﹣1=36；
假設36A，根據性質P，對an=72，有ai ， aj ， 使得an=72=ai+aj
顯然ai≠aj ， 所以an+ai+aj=144
而此時集合A中至少還有5個不同于an ， ai ， aj的元素，
從而S＞（an+ai+aj）+5a1=149，矛盾，
所以36∈A，進而at=36，且an﹣1=36；
同理可證：an﹣2=18，an﹣3=9
（同理可以證明：若18∈A，則an﹣2=18）．
假設18A．
因為an﹣1=36，根據性質P，有ai ， aj ， 使得an﹣1=36=ai+aj
顯然ai≠aj ， 所以an+an﹣1+ai+aj=144，
而此時集合A中至少還有4個不同于an ， an﹣1 ， ai ， aj的元素
從而S＞an+an﹣1+ai+aj+4a1=148，矛盾，
所以18∈A，且an﹣2=18
同理可以證明：若9∈A，則an﹣3=9
假設9A
因為an﹣2=18，根據性質P，有ai ， aj ， 使得an﹣2=18=ai+aj
顯然ai≠aj ， 所以an+an﹣1+an﹣2+ai+aj=144
而此時集合A中至少還有3個不同于an ， an﹣1 ， an﹣2 ， ai ， aj的元素
從而S＞an+an﹣1+an﹣2+ai+aj+3a1=147，矛盾，
所以9∈A，且an﹣3=9）
至此，我們得到了an﹣1=36，an﹣2=18，an﹣3=9ai=7，aj=2．
根據性質P，有ai ， aj ， 使得9=ai+aj
我們需要考慮如下幾種情形：
①ai=8，aj=1，此時集合中至少還需要一個大等于4的元素ak ， 才能得到元素8，
則S＞148；
②，此時集合中至少還需要一個大于4的元素ak ， 才能得到元素7，
則S＞148；
③ai=6，aj=3，此時集合A={1，2，3，6，9，18，36，72}的和最小，為147；
④ai=5，aj=4，此時集合A={1，2，4，5，9，18，36，72}的和最小，為147
【解析】（Ⅰ）利用性質P的概念，對數集{1，3，4}與{1，2，3，6}判斷即可；（Ⅱ）利用集合A={a1 ， a2 ， …，an}具有性質P，可分析得到ai≤ak﹣1 ， aj≤ak﹣1 ， 從而ak=ai+aj≤2ak﹣1 ， （k=2，3，…n），將上述不等式相加得a2+…+an﹣1+an≤2（a1+a2+…+an﹣1） 即可證得結論；（Ⅲ）首先注意到a1=1，根據性質P，得到a2=2a1=2，構造A={1，2，3，6，9，18，36，72}或者A={1，2，4，5，9，18，36，72}，這兩個集合具有性質P，此時元素和為147．
再利用反證法證明滿足S= ≤147最小的情況不存在，從而可得最小值為147．