Question

【題目】【選修4-5：不等式選講】
已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．
（I）若不等式f（x）＞a2對任意實數x恒成立，求實數a的取值的集合T；
（Ⅱ）設m、n∈T，證明： |m+n|＜|mn+3|．

Answer 1

【答案】（1）解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3，不等式f（x）＞a2對任意實數x恒成立， ∴3＞a2 ， ∴﹣ ＜a＜ ，
∴T={a|﹣ ＜a＜ }；
（Ⅱ）證明：由（1）可得m2＜3，n2＜3，
∴（m2﹣3）（3﹣n2）＜0，
∴3（m+n）2＜（mn+3）2 ，
∴ |m+n|＜|mn+3|
【解析】（I）利用絕對值三角不等式求得f（x）的最小值為3，可得3＞a2 ， 由此求得實數a的取值的集合T；（Ⅱ）由（1）可得m2＜3，n2＜3，再整理，即可證明結論．
【考點精析】利用絕對值不等式的解法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．