Question

給出下列四個命題：
①已知函數f（x）=2^x+2^-x，則y=f（x-2）的圖象關于直線x=2對稱；
②平面內的動點P到點F（-2，3）和到直線l：2x+y+1=0的距離相等，則點P的軌跡是拋物線；
③若向量

a

，

b

滿足

a

•

b

＜0，則

a

與

b

的夾角為鈍角；
④存在x₀∈（1，2），使得（x₀²-3x₀+2）e x0+3x₀-4=0成立，
其中正確命題的個數是（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,函數的性質及應用,平面向量及應用

分析：①通過函數的奇偶性定義及圖象特點，將其平移，即可判斷；
②由拋物線的定義：到定點的距離等于到定直線的距離的動點軌跡是拋物線，必須是定點不在定直線上，即可判斷；
③由數量積的定義可知，數量積小于0，可以兩向量反向共線，即可判斷；
④由函數的零點存在定理，驗證f（1），f（2）的符號，即可判斷．

解答： 解：①因為x∈R，f（-x）=2^-x+2^x=f（x），則f（x）為偶函數，圖象關于y軸對稱，
將其圖象向右平移2個單位，得到y=f（x-2）的圖象，則關于直線x=2對稱．故①對；
②由于定點F（-2，3）在直線l：2x+y+1=0上，故點P的軌跡為過F且垂直于l的直線．故②錯；
③若向量

a

，

b

滿足

a

•

b

＜0，則

a

與

b

的夾角為鈍角或

a

，

b

反向共線，故③錯；
④令f（x）=（x²-3x+2）•e^x+3x-4，f（1）=（1-3+2）•e+3-4＜0，f（2）=（4-6+2）•e²+6-4＞0，
由函數的零點存在定理得，f（x）在（1，2）上至少有一個零點．故④對．
故選：C．

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查函數的圖象平移和函數的對稱性、函數的零點存在定理、向量的夾角和拋物線的定義，注意隱含條件，是一道基礎題，也是易錯題．