Question

已知的前項和滿足，其中
（Ⅰ）求證：首項為1的等比數列；
（Ⅱ）若，求證：，并給指出等號成立的充要條件。

Answer 1

見解析

（Ⅰ）由，即，
因，故，得 
又由題設條件知，
兩式相減得 ，即 由 ，知 ，
因此綜上對所有成立，從而是首項為1，公比為的等比數列。
（Ⅱ）當時，顯然 ，等號成立
設 且，由（Ⅰ）知 ，所以要證的不等式化為 
即證：，當 時，上面不等式的等號成立
當 時， 與 同為負；當 時 
與 同為正，因此當 且 時，
總有，即
上面不等式對從1到 求各得
由此得
綜上，當 且 時，有，當且僅當 或時等號成立。
【考點定位】本題考查了數列前n項和的概念，不等式恒成立問題，數學歸納法的應用，合理猜想與邏輯推理的概念．對不等式的考查有一定的難度，綜合性較強，需要同學有深厚的功底才能勝任本題的解答，對數學歸納法的考查較深