Question

已知各項均為正數的數列{}滿足（），且是，的等差中項． 
（Ⅰ）求數列{}的通項公式；
（Ⅱ）令=，是否存在正整數，使 時，不等式恒成立，若存在，求的值；不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）．  （Ⅱ）．

（1）由，得。。數列{}是以2為公比的等比數列．根據題意可求得，（2）由（Ⅰ）及=得，。利用錯位相減法求出。要使成立，只需成立，即，，取 。
（Ⅰ）∵，
∴,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
∵數列{}的各項均為正數，∴，
∴，
即（），所以數列{}是以2為公比的等比數列．…………3分
∵是的等差中項，
∴，∴，∴，
∴數列{}的通項公式．……………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）及=得，， ……………………………8分
∵，
∴     1
∴  ②
②-1得，
=……………………………10分
要使成立，只需成立，即，，
使成立，取． …………13分