【題目】如圖，已知矩形ABCD中，
，
，M是以CD為直徑的半圓周上的任意一點（與C，D均不重合），且平面
平面ABCD.
（1）求證：平面
平面BCM；
（2）當四棱錐
的體積最大時，求AM與CD所成的角.
【答案】（1）證明見解析 （2）
【解析】
（1）只證明CM⊥平面ADM即可，即證明CM垂直于該平面內的兩條相交直線，或者使用面面垂直的性質，本題的條件是平面CDM⊥平面ABCD，而M是以CD為直徑的半圓周上一點，能夠得到CM⊥DM，由面面垂直的性質即可證明；（2）當四棱錐M一ABCD的體積最大時，M為半圓周中點處，可得角MAB就是AM與CD所成的角，利用已知即可求解．
（1）證明：
CD為直徑，所以CM
DM ，
已知平面CDM平面ABCD， ADCD，
AD平面CDM，所以ADCM 又DM
AD=D
CM平面ADM 又CM
平面BCM，
平面ADM平面BCM ，
（2）
當M為半圓弧CD的中點時，四棱錐的體積最大，
此時，過點M作MOCD于點E,
平面CDM平面ABCD
MO平面ABCD，即MO為四棱錐的高又底面ABCD面積為定值2
，
AM與CD所成的角即AM與AB所成的角，
求得
為正三角形，
，故AM與CD所成的角為
核心素養學練評系列答案
單元期中期末卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知四棱錐
中，
平面ABCD，
，
，
，M是線段AB的中點.
（1）求證：
平面PAB；
（2）已知點N是線段PB的中點，試判斷直線CN與平面PAD的位置關系，并證明你的判斷.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，正四棱錐
中，
為底面正方形的中心，側棱
與底面
所成的角的正切值為
．
（1）求側面
與底面所成的二面角的大小；
（2）若
是
的中點，求異面直線
與
所成角的正切值；
（3）問在棱
上是否存在一點
，使
⊥側面
，若存在，試確定點的位置；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，其中
表示不超過
的最大整數，下列關于
說法正確的有:______．
①的值域為[-1,1]
②
為奇函數
③為周期函數，且最小正周期T=4
④在[0，2）上為單調增函數
⑤與
的圖像有且僅有兩個公共點
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
的圖像與
軸的相鄰兩交點的坐標分別為
，
，且當
時，
有最小值.
（1）求函數的解析式及單調遞減區間；
（2）將的圖像向右平移
個單位，再將所得圖像的橫坐標伸長為原來的
倍（縱坐標不變），得到函數
的圖像，若關于的方程
在區間
上有兩個解，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）證明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況，假設同一個公司快遞員的工作狀況基本相同，現從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員，并從兩人某月（30天）的快遞件數記錄結果中隨機抽取10天的數據，制表如圖：
每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務費情況如下：甲公司規定每件4.5元；乙公司規定每天35件以內（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.
（1）根據表中數據寫出甲公司員工A在這10天投遞的快遞件數的平均數和眾數；
（2）為了解乙公司員工B的每天所得勞務費的情況，從這10天中隨機抽取1天，他所得的勞務費記為X（單位：元），求X的分布列和數學期望；
（3）根據表中數據估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務費.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
為圓
上的動點，點在
軸上的投影為
，點
為線段AB的中點，設點的軌跡為
．
（1）求點的軌跡的方程；
（2）已知直線
與交于
兩點，
，若直線
的斜率之和為3，直線是否恒過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．
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