Question

【題目】已知函數的圖象為不間斷的曲線，定義域為，規定:

①如果對于任意，都有，則稱函數是凹函數.

②如果對于任意，都有，則稱函數是凸函數.

（1）若函數(且)是凹函數，試寫出實數的取值范圍;(直接寫出結果，無需證明)；

（2）判斷函數是凹函數還是凸函數，并加以證明；

（3）若對任意的且，，試證明存在，使.

Answer 1

【答案】（1）；（2）凸函數，證明見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）根據對數函數的圖象性質，結合新定義，直接求解即可；

（2）利用作差比較法，根據新定義，直接判斷、證明即可；

（3）根據等式，構造新函數，利用零點存在原理直接證明即可.

（1）由函數圖象可知：；

（2）因為，故，

所以，則函數是凸函數.

（3）設，

因為

，

又因為，

所以，所以在區間上有零點，

即存在，使.