Question

【題目】已知拋物線： 的焦點與橢圓： 的一個焦點重合，點在拋物線上，過焦點的直線交拋物線于、兩點.

（Ⅰ）求拋物線的方程以及的值；

（Ⅱ）記拋物線的準線與軸交于點，試問是否存在常數，使得且都成立？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（I）；（II）或.

【解析】試題分析：（1）由題意方程，求得橢圓的焦點坐標，則可得，即可求得的值，求得拋物線方程，利用拋物線的焦點弦公式即可求得的值； （2）將直線方程代入拋物線方程，由向量數量積的坐標運算，求得，利用韋達定理以兩點之間的距離公式，列方程，即可求得實數入的值.

試題解析：（Ⅰ）依題意，橢圓： 中， ，故，故，故，則，故拋物線方程為，將代入，記得，

故.

（Ⅱ）依題意， ，設，設， ，

聯立方程，消去，得.∴①

且，又則，即，代入①

得，

消去得，且，

則 .由，

解得或（舍），故或.