Question

【題目】如圖：在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=3，PA⊥底面ABCD，E是PC中點，F是AB中點．

（Ⅰ）求證：BE∥平面PDF；

（Ⅱ）求直線PD與平面PFB所成角的正切值；

（Ⅲ）求三棱錐P﹣DEF的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）.

【解析】試題解析：（Ⅰ）利用三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質定理及線面平行的判定定理即可證明取的中點為，連接，則可證四邊形是平行四邊形，得出，從而證明結論；（Ⅱ）先證⊥， ⊥，利用線面垂直的性質定理可證明⊥平面可得∠為直線與平面所成角，利用直角三角形選擇求求其正切值，即可得結果；（Ⅲ）利用等積變形和三棱錐的體積計算公式可得==.

（Ⅰ）證明：取中點，連，;

因為，分別為， 中點，所以， ∥;

且是中點， ， ∥;

且∥，

則四邊形為平行四邊形

所以∥，且 平面; 平面；

（Ⅱ）解：因為⊥底面， 底面，所以⊥；

又因為底面是菱形， =2， =1，∠=，則,

+ = ， ⊥，

且, 所以⊥平面,

則是在平面內的射影，

∠為直線與平面所成角，

==

（Ⅲ）解：因為是中點，點到平面的距離等于點到平面的距離,

==.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面成的角的定義及求法、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.