Question

【題目】定義在[﹣1，1]上的奇函數f（x），已知當x∈[﹣1，0]時的解析式f（x）= ﹣ （a∈R）．
（1）寫出f（x）在[0，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，

又∵

∴ =1﹣a=0

解得a=1

即當x∈[﹣1，0]時的解析式

當x∈[0，1]時，﹣x∈[﹣1，0]

∴ =4x﹣2x=﹣f（x）

∴f（x）=2x﹣4x（x∈[0，1]）

（2）解：由（1）得當x∈[0，1]時，f（x）=2x﹣4x

令t=2x（t∈[1，2]）

則2x﹣4x=t﹣t2，

令y=t﹣t2（t∈[1，2]）

則易得當t=1時，y有最大值0

f（x）在[0，1]上的最大值為0

【解析】（1）由函數f（x）為定義在[﹣1，1]上的奇函數，其圖象經過坐標原點，則根據x∈[﹣1，0]時的解析式 ，構造關于a的方程，再結合奇函數的性質，求出函數f（x）在[0，1]上的解析式．（2）根據（1）中函數的解析式，我們用換元法可將函數的解析式，轉化為一個二次函數的形式，我們分析出函數的單調性，進而求出f（x）在[0，1]上的最大值．
【考點精析】掌握函數的最值及其幾何意義和函數的奇函數是解答本題的根本，需要知道利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（�。┲担焕�用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數．