Question

【題目】已知橢圓的短軸長為，左右焦點分別為，，點是橢圓上位于第一象限的任一點，且當時，.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若橢圓上點與點關于原點對稱，過點作垂直于軸，垂足為，連接并延長交于另一點，交軸于點.

（ⅰ）求面積最大值；

（ⅱ）證明：直線與斜率之積為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析.

【解析】

（1）由，解方程組即可得到答案；

（2）（ⅰ）設，，則，，易得，注意到，利用基本不等式得到的最大值即可得到答案；（ⅱ）設直線斜率為，直線方程為，聯立橢圓方程得到的坐標，再利用兩點的斜率公式計算即可.

（1）設，由，得.

將代入，得，即，

由，解得，

所以橢圓的標準方程為.

（2）設，，則，

（ⅰ）易知為的中位線，所以，

所以，

又滿足，所以

，得，

故，當且僅當，即，時取等號，

所以面積最大值為.

（ⅱ）記直線斜率為，則直線斜率為，

所以直線方程為.

由，得，

由韋達定理得，所以，

代入直線方程，得，

于是，直線斜率，

所以直線與斜率之積為定值.