Question

（08年新建二中五模理） 設函數其中常數為整數.

　 ⑴當為何值時,；

　 ⑵定理：若函數在上連續,且與異號,則至少存在一點,使.

     試用上述定理證明:當整數時,方程,在內有兩個實根.

Answer 1

解析:（１）函數f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)連續，且

．

當x∈(-m,1-m)時,　，f(x)為減函數,　f(x)>f(1-m)；

當x∈(1-m, +∞)時,　 ，f(x)為增函數,　f(x)>f(1-m)．

根據函數極值判別方法，f(1-m)=1-m為極小值，而且

對x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m，故當整數m≤1時，f(x) ≥1-m≥0．

(２)由（I）知，當整數m>1時，f(1-m)=1-m<0,

函數f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續減函數．

，

由所給定理知，存在唯一的，而當整數m>1時，

類似地，當整數m>1時，函數f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續增函數且 f(1-m)與異號，由所給定理知，存在唯一的，

故當m>1時，方程f(x)=0在內有兩個實根．