Question

已知函數f（x）=x³-3x²+2x
（Ⅰ）在p₀處的切線平行于直線y=-x-1，求p₀點的坐標；
（Ⅱ）求過原點的切線方程．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，得到函數在P₀處的切線的斜率，由斜率等于-1求得P₀點的坐標；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函數f（x）過切點P₀（x₀，y₀）的切線方程，代入原點坐標求得P₀的坐標，進一步求出切線的斜率，由點斜式得切線方程．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=x³-3x²+2x，
得f′（x）=3x²-6x+2，
設P₀（x₀，y₀），
則f′(x0)=3x02-6x0+2．
∵f（x）在P₀處的切線平行于直線y=-x-1，
∴3x02-6x0+2=-1，
即(x0-1)2=0，x₀=1．
∴f（x₀）=f（1）=0．
即P₀點的坐標為（1，0）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數f（x）過切點P₀（x₀，y₀）的切線方程為：
y-x03+3x02-2x0=(3x02-6x0+2)(x-x0)，
把（0，0）代入得：2x03-3x0=0．
解得x₀=0或x0=

3

2

．
當x₀=0時，斜率為2，切線方程為y=2x；
當x0=

3

2

時，切點為（

3

2

，-

3

8

），斜率為-

1

4

．
切線方程為y+

3

8

=-

1

4

(x-

3

2

)，整理得，y=-

1

4

x．
∴過原點的切線方程為y=2x，y=-

1

4

x．

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點處的切線方程，解答的關鍵在于區分給出的點是否為切點，該題是中檔題，屬易錯題．