Question

已知四棱錐P-ABCD的三視圖和直觀圖如圖所示，其中正視圖、側視圖是直角三角形，俯視圖是有一條對角線的正方形．E是側棱PC上的動點．
（1）求證：BD⊥AE；
（2）若E為PC的中點，求直線BE與平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）要證BD⊥AE，只要證BD⊥面PAC，只需證BD⊥AC，BD⊥PC；
（2）要求直線BE與平面PBD所成角的正弦值，必須找到直線BE在平面PBD內的射影，由（1）易找面PBD的垂線，歸結為解直角三角形．

解答： （1）證明：由已知PC⊥BC，PC⊥DC，BC∩DC=C，
∴PC⊥面ABCD
∵BD?面ABCD，
∴BD⊥PC，
∵BD⊥AC，PC∩AC=C，
∴BD⊥面PAC，
又∵AE?面PAC，∴BD⊥AE．
（2）解；連AC交BD于點O，連PO，
由（1）知BD⊥面PAC，∴面BED⊥面PAC，
過點E作EH⊥PO于H，則EH⊥面PBD，
∴∠EBH為BE與平面PBD所成的角．
∵EH=

1

3

，BE=

2

，
∴sin∠EBH=

1 3

2

=

2

6

．

點評：本題考查簡單的空間圖形的三視圖，和線面垂直的判定和性質定理，以及線面角的求法等知識，綜合性強，思維跨度大，體現了轉化的思想方法，屬中檔題．