Question

已知a∈R，函數f（x）=ax²-（2+5a）x+5lnx．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=3和x=5處的切線互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）設g(x)=x2-

5

2

x，若對任意x₁∈（0，

5

2

]均存在x₂∈（0，

5

2

]使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由f′（x）=2ax-（2+5a）+

5

x

，x＞0和曲線y=f（x）在x=3和x=5處的切線互相平行，知f′（3）=f′（5），由此能求出a．
（Ⅱ）由f′（x）=2ax-（2+5a）+

5

x

=

(ax-1)(2x-5)

x

，x＞0，根據a的符號進行分類討論，能夠求出f（x）的單調遞區間．
（Ⅲ）g(x)=x2-

5

2

x，對任意x₁∈（0，

5

2

]均存在x₂∈（0，

5

2

]使得f（x₁）＜g（x₂），等價于在（0，

5

2

]上有f（x）_max＜g（x）_max．由此能求出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax²-（2+5a）x+5lnx，
∴f′（x）=2ax-（2+5a）+

5

x

，x＞0．
∵曲線y=f（x）在x=3和x=5處的切線互相平行，
∴f′（3）=f′（5），即6a-（2+5a）+

5

3

=10a-（2+5a）+1，
解得a=

1

6

．
（Ⅱ）∵f′（x）=2ax-（2+5a）+

5

x

=

(ax-1)(2x-5)

x

，x＞0，
①當a≤0時，x＞0，ax-1＜0，
在區間（0，

5

2

]）上，f′（x）＞0；在區間（

5

2

，+∞）上，f′（x）＜0．
故f（x）的增區間是（0，

5

2

），減區間是（

5

2

，+∞）．
②當0＜a＜

2

5

時，

1

a

＞

5

2

，在區間（0，

5

2

）和（

1

a

，+∞）上，f′（x）＞0；在區間（

5

2

，

1

a

）上，f′（x）＜0．
故f（x）的增區間是（0，

5

2

），（

1

a

，+∞），減區間是（

5

2

，

1

a

）．
③當a=

2

5

時，f′（x）=

4(x- 5 2 )2

5x

，
故f（x）的單調遞增區間是（0，+∞）．
④當a＞

2

5

時，0＜

1

a

＜

5

2

，在區間（0，

1

a

）和（

5

2

，+∞）上，f′（x）＞0；在（

1

a

，

5

2

）上，f′（x）＜0，
故f（x）的增區間是（0，

1

a

），（

5

2

，+∞），減區間是（

1

a

，

5

2

）．
（Ⅲ）∵g(x)=x2-

5

2

x，對任意x₁∈（0，

5

2

]均存在x₂∈（0，

5

2

]使得f（x₁）＜g（x₂），等價于在（0，

5

2

]上，有f（x）_max＜g（x）_max．
g(x)=x2-

5

2

x在（0，

5

2

]的最大值g（x）_max=g（

5

2

）=0．
由（Ⅱ）知：①當a≤

2

5

時，f（x）在（0，

5

2

]上單調遞增，
故f（x）_max=f（

5

2

）=

25

4

a-（2+5a）•

5

2

+5ln

5

2

=-

25

4

a-5+5ln

5

2

，
∴-

25

4

a-5+5ln

5

2

＜0，解得a＞

4

5

（ln

5

2

-1）．
故

4

5

（ln

5

2

-1）＜a≤

2

5

．
②當a＞

2

5

時，f（x）在（0，

1

a

]上單調遞增，在（

1

a

，

5

2

]上單調遞減，
故f（x）_max=f（

1

a

）=-5-

1

a

+5ln

1

a

=-

1

a

+5（ln

1

a

-1），
由a＞

2

5

，知

1

a

＜

5

2

＜e，
∴ln

1

a

＜ln

5

2

＜1，∴ln

1

a

-1＜0，
∴a＞

2

5

．f（x）_max＜0．
綜上所述a的取值范圍是（

4

5

ln

5

2

-

4

5

，+∞）．

點評：本題考查導數的幾何意義的應用，考查函數的單調區間的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，綜合性強，難度大．解題時要認真體會等價轉化思想和分類討論思想的合理運用．