Question

15、（文）若函數f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]上單調遞減，則實數a的取值范圍是

a≤-3

．

Answer 1

分析：由函數f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]內單調遞減轉化成f′（x）≤0在（-∞，1]內恒成立，利用參數分離法即可求出a的范圍．

解答：解：∵函數f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]內單調遞減，
∴f′（x）=-3x²+6x+a≤0在（-∞，1]內恒成立．
即 a≤3x²-6x在（-∞，1]內恒成立．
∵t=3x²-6x在（-∞，1]上的最小值為-3，
故答案為：a≤-3．

點評：此題主要考查利用導函數的正負判斷原函數的單調性，屬于基礎題．