Question

（文）若函數f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]上單調遞減，則實數a的取值范圍是

 

．
（理） 設O為坐標原點，向量

OA

=(1，2，3)，

OB

=(2，1，2)，

OP

=(1，1，2)，點Q在直線OP上運動，則當

QA

•

QB

取得最小值時，點Q的坐標為

 

．

Answer 1

分析：（文）由函數f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]上單調遞減轉化成f′（x）≤0在（-∞，1]上恒成立，利用參數分離法即可求出a的范圍．
（理）可先設Q（x，y，z），由點Q在直線OP上可得Q（λ，λ，2λ），則由向量的數量積的坐標表示可得

QA

•

QB

=2（3λ²-8λ+5），根據二次函數的性質可求，取得最小值時的λ，進而可求Q

解答：（文）解：∵函數f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]上單調遞減，
∴f′（x）=-3x²+6x+a≤0在（-∞，1]上恒成立．
即 a≤3x²-6x在（-∞，1]上恒成立．
∵t=3x²-6x在（-∞，1]上的最小值為-3，
∴a≤-3
∴故答案為：a≤-3．
（理）解：設Q（x，y，z）
由點Q在直線OP上可得存在實數λ使得

OQ

=λ

OP

，則有Q（λ，λ，2λ）

QA

=(1-λ，2-λ，3-2λ)，

QB

=(2-λ，1-λ，2-2λ)
當

QA

•

QB

=（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）=2（3λ²-8λ+5）
根據二次函數的性質可得當 λ=

4

3

時，取得最小值 -

2

3

此時Q (

4

3

，

4

3

，

8

3

)
故答案為：(

4

3

，

4

3

，

8

3

)

點評：此題主要考查利用導函數的正負判斷原函數的單調性，屬于基礎題．本題主要考查了平面向量的共線定理的應用，解題的關鍵是由點Q在直線OP上可得存在實數λ使得

OQ

=λ

OP

，進而有Q（λ，λ，2λ），然后轉化為關于λ的二次函數，根據二次函數知識求解最值，體現了轉化思想在解題中的應用．