Question

已知二次函數f（x）=mx²+mx+2-m．
（Ⅰ）若不等式f（x）＞0對任意x∈R恒成立，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）若x=0是不等式f（x）＜x唯一的整數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）已知二次函數f（x）=mx²+mx+2-m，若不等式f（x）＞0對任意x∈R恒成立．則：m≠0時，由

m＞0 △=b2-4m(2-m)＜0

，進一步求得結果．
（Ⅱ）利用若x=0是不等式f（x）＜x唯一的整數解，需要滿足f（0）＜0，且進一步設：令h（x）=mx²+（m-1）x+2-m，由題意得：m＞2，h（0）＜0，h（1）≥0，h（-1）≥0，最后求不等式組的解集．

解答： 解：（Ⅰ）已知二次函數f（x）=mx²+mx+2-m，若不等式f（x）＞0對任意x∈R恒成立．
則：m≠0時，由

m＞0 △=b2-4m(2-m)＜0

解得：0＜m＜

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（Ⅱ）由f（x）＜x
得：mx²+（m-1）x+2-m＜0
由f（0）＜0
解得：m＞2
令h（x）=mx²+（m-1）x+2-m
由題意得：m＞2，h（0）＜0，h（1）≥0，h（-1）≥0
解得：2＜m≤3

點評：本題考查的知識要點：二次函數恒大于0的條件，及一元二次不等式有某一個唯一實數解的條件，及相關的不等式的解法．