Question

（2013•遼寧一模）甲乙兩人進行乒乓球對抗賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一個比對方多2分或打滿6局時停止．設甲在每局中獲勝的概率為P（P＞

1

2

)，且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結束時比賽停止的概率為

5

9

．若圖為統計這次比賽的局數n和甲，乙的總得分數S，T的程序框圖．其中如果甲獲勝則輸入a=1，b=0．如果乙獲勝，則輸入a=0，b=1．
（1）在圖中，第一，第二兩個判斷框應分別填寫什么條件？
（2）求P的值．
（3）設ξ表示比賽停止時已比賽的局數，求隨機變量ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）從框圖知，這是一個含有兩個條件的框圖，結合題目所給的條件，程序框圖中的第一個條件框應填M=2，第二個應填n=6．
（2）依題意得，當甲連勝2局或乙連勝2局時，第二局比賽結束時比賽停止．所以p²+（1-p）²=

5

9

，由此能求出p的值．
（3）依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6．設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為

5

9

．若該輪結束時比賽還將繼續，則甲、乙在該輪中必是各得一分，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響．寫出分布列和期望．

解答：解：（1）程序框圖中的第一個條件框應填M=2，第二個應填n=6．…（8分）
注意：答案不唯一． 如：第一個條件框填M＞1，第二個條件框填n＞5，或者第一、第二條件互換，都可以．
（2）依題意得，當甲連勝2局或乙連勝2局時，第二局比賽結束時比賽停止．
所以p²+（1-p）²=

5

9

，
解得：p=

2

3

或p=

1

3

，
因為p＞

1

2

，所以p=

2

3

．…（6分）
（3）依題意知，ζ的所有可能值為2，4，6．                            …（9分）
由已知 P（ξ=2）=

5

9

，P（ξ=4）=C

1 2

p³（1-p）+C

1 2

（1-p）³p=

20

81

P（ξ=6）=1-P（ξ=2）-P（ξ=4）=

16

81

．…（11分）
∴隨機變量ζ的分布列為：

ζ	2	4	6
P	5 9	20 81	16 81

故Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的合理運用．